La teoría de juegos y sus aplicaciones en la toma de decisiones. Por Gredy Garrido Ph.D.

Definición de los valores de Shapley

Los Valores de Shapley son un concepto central en la teoría de juegos cooperativos. Fueron propuestos por el matemático Lloyd Shapley en 1953. Estos valores son una forma de asignar una distribución justa de los beneficios en juegos donde los jugadores cooperan para lograr objetivos comunes y se enfrentan a la cuestión de cómo distribuir los beneficios generados por su cooperación.

En esencia, los Valores de Shapley proporcionan una forma de medir la contribución de cada jugador al juego y, por lo tanto, cómo se deben repartir los beneficios entre los jugadores de manera equitativa. Se basan en la idea de que la contribución de un jugador debe depender de su contribución marginal a todas las posibles coaliciones en las que podría participar.

Para calcular los Valores de Shapley, se siguen los siguientes pasos:

● Se consideran todas las posibles permutaciones de jugadores (o coaliciones) en el juego.

● Para cada permutación, se calcula la contribución marginal de cada jugador, es decir, cuánto cambia el valor total del juego cuando ese jugador se une o se retira de la coalición.

● Luego, se promedian estas contribuciones marginales a lo largo de todas las permutaciones posibles. Cada jugador recibe su Valor de Shapley, que representa su contribución justa al juego.

Los Valores de Shapley son atractivos porque cumplen con una serie de propiedades deseables en teoría de juegos, como la propiedad de eficiencia, que asegura que la suma de los Valores de Shapley es igual al valor total del juego. Además, los Valores de Shapley son sensibles al orden en el que los jugadores son considerados, lo que refleja la intuición de que la contribución de un jugador puede variar dependiendo de cuándo se une a la coalición.

Estos valores se han utilizado en una amplia variedad de campos, desde economía hasta asignación de recursos y diseño de sistemas de votación, para asignar recursos de manera justa y garantizar que cada jugador o participante reciba su parte justa de los beneficios generados en una situación de cooperación.

Ejemplo: La Cooperativa de Transporte

Supongamos que tenemos una cooperativa de transporte formada por tres conductores: Ana, Juan y Carlos. Cada día, estos conductores trabajan juntos para llevar a cabo entregas de mercancías a diferentes destinos. La ganancia total del día depende de cuántos destinos puedan cubrir juntos.

● Si Ana y Juan trabajan juntos, ganan $200.

● Si Ana y Carlos trabajan juntos, ganan $180.

● Si Juan y Carlos trabajan juntos, ganan $150.

● Si los tres, Ana, Juan y Carlos trabajan juntos, ganan $300.

● Si uno de ellos trabaja solo, ganan $50 cada uno.

Este juego cooperativo representa una situación en la que los jugadores (los conductores) pueden formar coaliciones para maximizar sus ganancias. El objetivo es distribuir de manera justa los beneficios entre los jugadores.

Solución utilizando los Valores de Shapley:

Para calcular los Valores de Shapley en este juego cooperativo, seguimos estos pasos:

● Enumeramos todas las posibles permutaciones de los jugadores. Hay 6 posibles permutaciones con 3 jugadores: (Ana, Juan, Carlos), (Ana, Carlos, Juan), (Juan, Ana, Carlos), (Juan, Carlos, Ana), (Carlos, Ana, Juan), y (Carlos, Juan, Ana).

● Calculamos la contribución marginal de cada jugador para cada permutación. La contribución marginal es la diferencia en las ganancias cuando un jugador se une a una coalición.

● Promediamos las contribuciones marginales para obtener el Valor de Shapley de cada jugador.

Para el ejemplo:

● Ana contribuye de la siguiente manera:

● En (Ana, Juan, Carlos) vs. (Juan, Carlos), su contribución es $300 – $150 = $150.

● En (Juan, Ana, Carlos) vs. (Juan, Carlos), su contribución es $300 – $150 = $150.

● En (Juan, Carlos, Ana) vs. (Juan, Carlos), su contribución es $0, ya que no cambia las ganancias.

● En (Juan, Ana, Carlos) vs. (Juan, Ana), su contribución es $200 – $50 = $150.

● Juan y Carlos también tienen contribuciones marginales.

Luego, calculamos los Valores de Shapley:

● Valor de Shapley de Ana = ($150 + $150 + $0 + $150) / 6 = $75.

● Valor de Shapley de Juan = $75.

● Valor de Shapley de Carlos = $75.

La solución utilizando los Valores de Shapley es que cada conductor debe recibir $75 como parte justa de las ganancias diarias. Este resultado garantiza que, en promedio, cada conductor reciba una cantidad justa considerando todas las posibles coaliciones en las que pueden participar.

Conclusion:

Shapley values provide a robust and mathematically sound framework for allocating gains in cooperative game theory. This paper has presented a numerical example to illustrate the computation and interpretation of Shapley values. Understanding the concept of Shapley values and their significance enables researchers, policymakers, and practitioners to make informed decisions in cooperative settings. Further research could explore the extensions and limitations of Shapley values, allowing for a deeper understanding and application in diverse scenarios.

Referencias:

● Shapley, L. S. (1953). A Value for n-Person Games. In H. W. Kuhn & A. W. Tucker (Eds.), Contributions to the Theory of Games (Vol. 2, pp. 307-317). Princeton University Press.

● Shapley, L. S., & Shubik, M. (1954). A Method for Evaluating the Distribution of Power in a Committee System. The American Political Science Review, 48(3), 787-792.

● Shapley, L. S. (1959). On Balanced Sets and Cores. Naval Research Logistics Quarterly, 6(1), 79-82.

● Shapley, L. S. (1967). On Cores and Indivisibility. Journal of Mathematical Economics, 4(1), 53-57.

● Shapley, L. S. (1971). Cores of Convex Games. International Journal of Game Theory, 1(1), 11-26. ● Shapley, L. S., & Shubik, M. (1981). Trade using One Commodity as a Means of Payment. Journal of Political Economy, 89(6), 1163-118